Рівняння, що змінило фінансові ринки: від фізики до трильйонних деривативів

Вступ: математики й фізики на біржі

Одне рівняння — модель Блека–Шоулза–Мертона — дало поштовх чотирьом галузям обсягом у трильйони доларів і глобально змінило підхід до ризиків. В його основі лежать три несподівані джерела: фізика (відкриття атомів і рівняння теплопровідності), розуміння теплових процесів та спосіб обіграти казино в блекджеку.

Тому не дивно, що серед найкращих біржових гравців — не лише досвідчені трейдери, а й фізики, науковці та математики.

Джим Саймонс vs Ісаак Ньютон

Джим Саймонс у 1988 році заснував фонд Medallion. Протягом наступних 30 років його дохідність перевищувала середньоринкову — і не трохи: 66% річних. Саймонс став, імовірно, найбагатшим математиком у світі.
Ісаак Ньютон, натомість, доводить, що математичний геній не гарантує успіху на ринку. До 1720 року він накопичив статок близько 30 тисяч фунтів (приблизно 6 млн доларів у сучасних цінах), працюючи в Кембриджі й керуючи Королівським монетним двором.
Ньютон вклався в акції Компанії південних морів. Акції швидко зростали, він докуповував їх дедалі більше. Коли ціни почали падати, він не позбувся паперів, а навпаки — докупив, вважаючи, що бере їх за безцінь. Ціни вгору вже не пішли, і Ньютон втратив майже третину статку.
Його власний висновок: він міг прорахувати рух небесних тіл, але не людське божевілля.

Луї Башельє: перше застосування математики до ринків

Луї Башельє (нар. 1870) після смерті батьків керував винною справою батька, продав її та переїхав до Парижа вивчати фізику. Він влаштувався на Паризьку фондову біржу, де панувало те саме «людське божевілля»: тисячі трейдерів вигукували ціни, махали руками, укладали угоди.

Найбільше його увагу привернули контракти під назвою опціони.

Що таке опціони: історія Фалеса

Перші опціони, наскільки відомо, придбав давньогрецький філософ Фалес Мілетський:

Він вважав, що влітку буде багатий врожай оливок і на цьому можна заробити, заздалегідь забезпечивши собі преси для олії.
Грошей викупити преси у нього не було, тож він заплатив власникам за право орендувати апарати влітку за фіксованою ціною.
Врожай справді був величезним, ціна оренди пресів злетіла. Фалес заплатив обумовлену фіксовану ціну, здав апарати дорожче, а різницю забрав собі.

Це було перше застосування опціону на купівлю (call).

Механіка опціонів

Опціон на купівлю (call) дає право, але не зобов'язує купити щось за заздалегідь обумовленою ціною виконання (страйком). Вигідний, якщо ціни зростуть.
Опціон на продаж (put) дає право, але не зобов'язує продати щось за ціною виконання. Вигідний, якщо ціни впадуть.
Американські опціони можна виконати будь-коли до закінчення строку; європейські — лише в дату закінчення.

Приклад. Акція Apple коштує 100 доларів. За 10 доларів ви купуєте опціон із правом придбати її за 100 доларів через рік.

Якщо ціна зросте до 130 — купуєте за 100, продаєте за 130, за вирахуванням 10 доларів премії маєте +20 доларів.
Якщо ціна впаде до 70 — опціон просто не використовуєте і втрачаєте лише 10 доларів премії.

Три переваги опціонів

Обмеження втрат. Купивши акцію, ви можете втратити 30 доларів (а теоретично й усі 100, якщо ціна впаде до нуля). Купивши опціон — лише сплачену премію.
Фінансове плече (леверидж). Прибуток 30 доларів на акції зі 100 — це 30%. Прибуток 20 доларів з 10, витрачених на опціон, — це 200%. Але зворотний бік: падіння ціни означає втрату 30% на акціях і всіх 100% на опціонах.
Страхування ризиків. Опціон — це спосіб зменшити ризик; а щойно з'явився попит на таку страховку, з'явилися й ті, хто готовий її продавати. Так народжуються ринки.

Проблема, що мучила століттями: як оцінити опціон

За сотні років ніхто не придумав раціонального способу визначати ціну опціону — трейдери просто торгувалися, доки ціна всіх не влаштує. Оцінити «можливість купити або продати щось у майбутньому» — розмита задача, яка століттями не давалася економістам і підприємцям.

Башельє цікавила теорія ймовірностей, і він вирішив зробити це темою дисертації під керівництвом Анрі Пуанкаре. У ті часи мало хто розглядав фінансові ринки крізь призму математики, але Пуанкаре тему схвалив.

Випадкові блукання та ефективний ринок

Ціна як результат «перетягування канату»

Вартість акцій визначається балансом покупців і продавців: більше покупців — вища ціна, більше продавців — нижча. На їхню кількість впливає практично будь-що: погода, політика, конкуренція, інновації.

Башельє зрозумів, що точно прорахувати ці фактори неможливо. Отже, слід виходити з того, що в будь-який момент акція з однаковою ймовірністю може зрости або впасти. На довгих проміжках ціни ніби блукають випадково, як при підкиданні монетки.

Гіпотеза ефективного ринку

Ефективний ринок — це ринок, на якому не можна заробити на спекуляціях. Парадокс у тому, що чим сильніше люди намагаються передбачити майбутнє ринку й заробити на прогнозах, тим більш непередбачуваним він стає:

Якби ми знали, які акції подорожчають завтра, ми б купували їх уже сьогодні.
Ціна зросла б уже зараз, саме через наші покупки.
Тобто прогноз сам по собі впливає на майбутній результат.

На абсолютно ефективному ринку припущення про завтрашню ціну не мають передбачувальної сили, бо ними скористалися б уже сьогодні.

Дошка Гальтона як модель

Дошка Гальтона — ряди штирків у формі трикутника, крізь які сиплються тисячі кульок:

На кожному штирку кулька з ймовірністю 50/50 звертає ліворуч або праворуч.
Передбачити шлях окремої кульки неможливо.
Але сума випадкових блукань дає нормальний розподіл: посередині кульок найбільше, бо саме туди веде найбільше випадкових маршрутів; ближче до країв — менше, бо для цього кульці треба постійно відскакувати в один бік.

Ціна акції — по суті та сама кулька: кожен наступний ряд штирків є часовим інтервалом. За короткий строк ціна змінюється незначно, але чим більше минає часу, тим ширший діапазон можливих цін.

Несподіваний зв'язок із фізикою

Башельє дійшов висновку, що очікувана ціна акції описується нормальним розподілом, у центрі якого — поточна ціна, а розкид зростає з часом. І раптом побачив, що заново відкрив рівняння, яке описує поширення тепла з областей високої температури в області низької — рівняння теплопровідності Фур'є (1822). У Башельє вийшло своєрідне «поширення ймовірностей».

Оскільки робота стосувалася фінансових ринків, фізики не звернули на неї уваги. А математики, які займалися випадковими блуканнями, змогли розв'язати вікову загадку фізики.

Броунівський рух і Ейнштейн

Ботанік Роберт Браун, розглядаючи під мікроскопом пилок, помітив, що частинки хаотично плавають у воді. Аби перевірити, чи справа в тому, що пилок — жива субстанція, він випробував явно неживі матеріали (пил метеорита, вулканічні породи) — поведінка була такою самою. Так з'ясувалося, що будь-які достатньо малі частинки рухаються випадково.
Причини залишалися невідомими 80 років, доки в 1905 році Ейнштейн їх не пояснив. На той час ідея, що гази й рідини складаються з молекул, набирала популярності, але не всі вважали молекули фізично реальними.
Ейнштейн припустив, що причина броунівського руху — молекули, що штовхають частинку в різних напрямках. Якщо з одного боку її штовхає більше молекул, ніж з іншого, частинка помітно зміщується. Оскільки молекул не видно, не можна передбачити, які саме будуть зіткнення, — отже, частинка з рівною ймовірністю зміститься в будь-якому напрямку.
Так само, як ціни на біржі, мікроскопічні частинки рухаються, наче кулька на дошці Гальтона: очікуване положення описується нормальним розподілом, що розширюється з часом. Саме тому частинки поширюються навіть у стоячій воді — це дифузія.
Розгадавши броунівський рух, Ейнштейн підтвердив реальне існування атомів і молекул. Він гадки не мав, що Башельє відкрив випадкові блукання на п'ять років раніше.

Формула Башельє для ціни опціону

Башельє все ж знайшов математичний спосіб вивести ціну опціону:

Для опціону на купівлю: якщо в майбутньому ціна акції впаде нижче страйку, покупець втрачає сплачену премію; якщо ціна вища — різниця дістається йому, а чистий прибуток виникає, коли ця різниця перевищує премію.
Покупець отримає дохід, якщо ціна зросте на суму, більшу за вартість опціону (одна зона ймовірності); продавець — якщо цього не станеться (інша зона).
Помноживши прибуток або збиток на ймовірність кожного результату, Башельє обчислив очікувану дохідність опціону.
Логіка ціноутворення: якщо ціна завищена — опціон ніхто не купить; якщо занижена — покупців буде забагато. Справедлива ціна — та, за якої очікуваний прибуток покупця й продавця однаковий.

Завершивши дисертацію, Башельє випередив Ейнштейна з випадковими блуканнями й розв'язав задачу, яка сотні років не давалася трейдерам. Але цього ніхто не помітив: фізикам було нецікаво, трейдери виявилися не готові. Бракувало головного — способу на цьому заробити.

Едвард Торп: від блекджеку до біржі

Підрахунок карт

Наприкінці 1950-х молодий фізик Едвард Торп писав кандидатську в Лос-Анджелесі, за кілька годин їзди від Лас-Вегаса, що ставав світовою столицею азартних ігор.

Тоді круп'є використовували одну колоду, тож Торп запам'ятовував усі зіграні карти й оцінював свої шанси: за сприятливого розкладу ставив більше, за несприятливого — менше.
Так він винайшов підрахунок карт — суттєве нововведення для гри, у варіації якої люди грали сотні років.
Якийсь час Торп вигравав дуже багато, але казино розгадали стратегію й додали додаткові колоди, щоб ускладнити підрахунок.

Перенесення методу на біржу

Торп заснував фонд, який протягом 20 років приносив близько 20% річних — найкращий результат на той час. Він переніс навички з казино на біржу: оцінив шанси виграшу й програшу та зрозумів, що за певних умов удачу можна схилити на свій бік, роблячи ставки за конкретним принципом.

Динамічне хеджування

Приклад: Боб продає Еліс опціон на купівлю однієї акції.

Якщо ціна акції зростає так, що Еліс у плюсі, то за кожен долар зростання Боб втрачає долар.
Це можна компенсувати, тримаючи акцію тієї ж компанії: втрачаючи долар на проданому опціоні, Боб відбиває його за рахунок подорожчання акції.
Якщо вартість падає, Боб може продати свою акцію, щоб не ризикувати.

Це і є динамічне хеджування: Боб отримує прибуток, а ризики від коливань цін зведено до мінімуму. Портфель стає безризиковим, якщо вартість опціону в будь-який момент компенсовано вартістю певної кількості акцій — цю кількість задає коефіцієнт дельта, що показує відношення між зміною вартості опціону та вартості акції.

Як формулює це сам Торп: по суті виходить, що можна продати комусь щось, фактично нічого не продаючи — опціон «з'являється з нізвідки», доки ми займаємося динамічною торгівлею й динамічним хеджуванням.

Уточнена модель ціноутворення

Торп не поспішав встановлювати ціни за моделлю Башельє: акції в сприятливих умовах з часом зростають, у несприятливих — падають, і Башельє цього не враховував. Торп запропонував точнішу модель оцінки опціону, яка відображала цей аспект (дрейф, тренд).

Модель була готова в середині 1967 року.
Спочатку нею користувався лише він, потім — його інвестори; план був заробити якомога більше.
Стратегія: якщо опціон коштує дешевше за модельну ціну — купувати; якщо дорожче — швидко продавати (ставити проти нього).
Діючи так, Торп вигравав частіше, ніж програвав, — і так тривало шість років.

Рівняння Блека–Шоулза–Мертона (1973)

У 1973 році Фішер Блек і Майрон Шоулз вивели рівняння, яке перевернуло все з ніг на голову; Роберт Мертон розробив власну варіацію, застосувавши стохастичне числення, і його заслуги також визнані.

За словами Торпа, він думав, що діє в цьому полі сам, але Блек і Шоулз опублікували свої міркування, і модель у них вийшла кращою — за їхнім рівнянням стояла суворіша математика.

Логіка виведення

Слідом за Башельє автори вважали, що ціна опціону має давати покупцям і продавцям однакові шанси, але підхід розробили власний.
Ключова ідея: якщо створити безризиковий портфель з опціонів і акцій (те саме, чого Торп досягав динамічним хеджуванням), то на ефективному ринку дохідність такого портфеля не повинна перевищувати дохідність надійних безризикових паперів — облігацій Казначейства США.
Принцип: без додаткового ризику не повинно бути можливості отримати додатковий дохід.
В описі зміни цін акцій вони спиралися на доопрацьовану версію моделі Башельє: зміна ціни складається з випадкової складової в певний момент часу та загальної тенденції ринку (дрейфу).

Поєднавши ці рівняння, Блек, Шоулз і Мертон отримали найвідоміше рівняння у сфері фінансових ринків, у якому ціна будь-якого деривативу пов'язується з базовими активами — акціями, облігаціями, будь-чим.

Чому це виявилося настільки важливим

Це диференціальне рівняння в частинних похідних, що дає зрозумілу формулу розрахунку вартості опціону як функції низки вхідних параметрів.
У біржі вперше з'явилася формула, куди можна підставити конкретні значення й отримати число, яке безпосередньо стане в пригоді під час торгів.
Це був перший випадок в історії соціальних наук, коли ринок так швидко засвоїв академічні напрацювання: вже за кілька років формула утвердилася на Волл-стріт як орієнтир для торгівлі опціонами.
Того ж року, коли вийшла публікація, було засновано Чиказьку біржу опціонів.

Наслідки: трильйонні ринки деривативів

Зростання

Ринок опціонів розквітнув: тут обертаються трильйони доларів, а обсяг ринку подвоюється приблизно кожні п'ять років — це фінансовий еквівалент закону Мура.

Схоже стрімке зростання показали:

ринки кредитних дефолтних свопів;
позабіржові деривативи;
сек'юритизовані боргові зобов'язання.

Кожна з цих багатотрильйонних галузей так чи інакше адаптує й використовує принцип Блека–Шоулза.

Хеджування ризиків для всіх

З'явився новий спосіб убезпечити себе від ризиків — не лише для хедж-фондів. Сьогодні опціони для хеджування специфічних ризиків використовують практично всі великі компанії, уряди й навіть приватні інвестори.

Приклад. Ви керуєте авіакомпанією і побоюєтеся, що через зростання цін на нафту зростуть ваші витрати. За допомогою рівняння можна оцінити опціон, прив'язаний до вартості нафти: він окупиться, якщо нафта продовжить дорожчати, і компенсує зайві витрати на пальне.

Фінансове плече: кейс GameStop

Модель також забезпечує потужне фінансове плече. Показовий приклад — битва між трейдерами, які грали на підвищення, і фондами, що ставили на падіння; вартість акцій зросла на сотні відсотків.

Група користувачів вирішила «покарати» менеджерів фондів, які грали на пониження й прогнозували неминуче падіння компанії.
Купівлі самих лише акцій виявилося замало: на певну суму можна купити стільки акцій, на скільки вистачить грошей.
Витративши ту саму суму на опціони, можна вплинути на значно більшу кількість акцій: купуєте опціон за 1 долар, а ефект такий, ніби закупили акцій на 20.
Поєднання скупівлі акцій і опціонів різко підняло ціну, і хедж-фонди дуже швидко втратили дуже багато грошей.

Масштаб і системний ризик

Дериватив — похідний фінансовий інструмент, вартість якого залежить від вартості інших інструментів. Опціон — це дериватив.
Обсяг ринку деривативів у світі оцінюється в кілька сотень трильйонів доларів — у рази більше, ніж обсяг базових активів, на основі яких вони виникли.
Причина цього парадоксу: опціони дозволяють «використати» базовий актив по 5, 10, 20 разів. Деривативи фактично дають змогу створювати безліч варіацій базових активів — варіацій із різним співвідношенням ризику й дохідності, привабливих для різних учасників.
Вплив на економіку: у нормальній ситуації ці ринки є хорошим джерелом ліквідності, а отже — стабільності. У ненормальній ситуації, коли на ринку виникають потрясіння, інструменти ризикують спрямуватися в один бік (зазвичай униз), і їхнє одночасне обвалення глобально обвалює ринок, поглиблюючи проблеми.

Визнання

У 1997 році Мертон і Шоулз отримали Нобелівську премію з економіки. Заслуги Фішера Блека також визнали, але він, на жаль, помер двома роками раніше.

Джим Саймонс і Renaissance Technologies

Після того, як «секрет дізнався весь світ», фондам знадобилися нові способи шукати місця, де ринок неефективний.

Науковець, що прийшов у фінанси

До занурення у світ цінних паперів Саймонс був математиком:

Його досягнення в диференціальній геометрії знайшли застосування в теорії вузлів, квантовій теорії поля та квантових обчисленнях.
Теорія Черна–Саймонса заклала основи теорії струн.
У 1976 році він отримав американську премію з геометрії.

Але на піку наукової кар'єри Саймонсу кортіло знайти нові задачі.

Renaissance Technologies і машинне навчання

У 1978 році він заснував Renaissance Technologies, щоб шукати закономірності на біржі за допомогою машинного навчання — адже закономірності дають можливість заробити.

Задум полягав у зборі величезних масивів даних, що в ті часи доводилося робити вручну: співробітники ходили до Федерального резерву й переписували історичні дані щодо процентних ставок, бо в цифровому вигляді нічого не зберігалося.
Саймонс виходив із того, що ринок — надто складна система, аби прогнозувати щось напевно.
Проте під час Холодної війни він працював в Інституті оборонного аналізу США, де зламував радянські шифровки, шукаючи закономірності в масивах даних. Він вважав, що до фінансового ринку можна підійти так само.

Підбір кадрів

Завдяки зв'язкам в академічному середовищі Саймонс залучив найкращих науковців. Вимоги до кандидатів були промовистими:

Вони не мали розбиратися у фінансах.
Фізики з науковим ступенем, які захистилися років п'ять тому й випустили кілька пристойних статей — явно не дурні.
Серед співробітників були астрономи, математики, статистики — ті, хто займався наукою і робив це успішно.

Чому математики й фізики йдуть у цю сферу:

Заробіток на біржі значно вищий за зарплату університетського викладача.
Декого фінансова математика захоплює не менше за інші теми їхньої наукової галузі.

Приховані марковські моделі

Серед залучених був Леонард Баум — першовідкривач прихованих марковських моделей. Логіка тут та сама, що й у випадку Ейнштейна: як видимий хаотичний рух пилку дозволив зробити висновок про існування невидимих молекул, так і приховані марковські моделі дають змогу за спостережуваними даними — коливаннями цін — робити висновки про приховані, безпосередньо невидимі стани системи, які ці коливання породжують. Саме пошук таких прихованих структур і закономірностей у величезних масивах ринкових даних став основою підходу, що зробив Medallion найуспішнішим фондом в історії.