Уравнение, изменившее финансовые рынки: от физики к триллионам долларов

Вступление: почему физики обыгрывают рынок

Одно уравнение — модель Блэка–Шоулза–Мертона — породило четыре отрасли с оборотом в триллионы долларов и полностью изменило подход к управлению рисками. В его основе лежат идеи из физики: открытие атомов, уравнение теплопроводности и... способ обыграть казино в блэкджек.

Неудивительно, что среди самых успешных участников рынка — не только трейдеры, но и физики, математики и учёные.

Пример успеха: Джим Саймонс

В 1988 году математик Джим Саймонс основал фонд Medallion.
На протяжении 30 лет фонд стабильно обгонял рынок, показывая доходность около 66% годовых (до вычета комиссий).
Саймонс стал, возможно, богатейшим математиком в мире.

Пример провала: Исаак Ньютон

К 1720 году Ньютон накопил состояние около 30 тысяч фунтов (примерно 6 млн современных долларов).
Он вложился в акции Компании Южных морей, которые стремительно росли, и продолжал докупать их даже после прохождения пика.
Ньютон потерял почти треть состояния и, по его словам, «мог рассчитать движение небесных тел, но не человеческое безумие».

Вывод: математический талант сам по себе не гарантирует успеха на рынке — нужна правильная модель.

Луи Башелье и первая математика финансов

Луи Башелье (род. 1870) после смерти родителей продал винный бизнес отца, переехал в Париж, изучал физику и устроился работать на Парижскую фондовую биржу. Там царил хаос выкриков и жестов трейдеров, и особое внимание Башелье привлекли опционы.

Что такое опционы

Опцион на покупку (колл) даёт право, но не обязанность купить актив по заранее оговорённой цене исполнения.
Опцион на продажу (пут) даёт право, но не обязанность продать актив по цене исполнения.
Американские опционы можно исполнить в любой момент до истечения срока, европейские — только в дату истечения.

Первый известный опцион приписывают древнегреческому философу Фалесу Милетскому: он предположил богатый урожай оливок и заранее за небольшую плату зарезервировал право арендовать прессы для масла по фиксированной цене. Урожай оказался огромным, цены на аренду взлетели, и Фалес пересдал прессы дороже, забрав разницу.

Пример и логика прибыли

Пусть акция Apple стоит 100 долларов, а опцион на покупку по 100 долларов через год стоит 10 долларов:

Если акция вырастет до 130 — вы покупаете за 100, продаёте за 130, чистая прибыль 20 долларов.
Если акция упадёт до 70 — опцион просто не исполняется, потери ограничены 10 долларами.

Три ключевых свойства опционов

Ограничение потерь — максимальный убыток равен уплаченной премии, тогда как владение акцией грозит потерей всей её стоимости.
Финансовый рычаг — вложив 10 долларов вместо 100, можно получить 20 долларов прибыли (доходность 200% вместо 30%), но при неблагоприятном исходе теряются все 100% вложений.
Хеджирование — опцион работает как страховка от неблагоприятного движения цен; когда появился спрос на такую страховку, появились и продавцы, а значит — рынок.

Проблема: сколько должен стоить опцион

Столетиями никто не знал, как правильно оценивать опционы: трейдеры просто торговались до взаимно приемлемой цены. Башелье решил найти математическое решение и сделал это темой диссертации под руководством Анри Пуанкаре, который, вопреки ожиданиям, одобрил столь необычную для математики тему.

Случайное блуждание и эффективный рынок

Цена акции определяется «перетягиванием каната» между покупателями и продавцами, а на их число влияет всё что угодно: погода, политика, конкуренция, инновации. Точно просчитать это невозможно, значит в каждый момент цена с равной вероятностью может пойти вверх или вниз — цены случайно блуждают.

Случайность — признак эффективности рынка. Эффективный рынок — тот, где нельзя стабильно заработать на спекуляциях: чем больше людей пытаются предсказать будущее и торговать по прогнозу, тем сильнее сам прогноз влияет на текущую цену и тем более непредсказуемым становится рынок.

Доска Гальтона и нормальное распределение

На доске Гальтона каждый шарик на каждом штырьке с вероятностью 50% отклоняется влево или вправо. Путь отдельного шарика непредсказуем, но их сумма даёт нормальное распределение: в центре шариков больше всего, потому что туда ведёт больше всего маршрутов.

Цена акции ведёт себя так же: каждый ряд штырьков — временной интервал. Чем больше проходит времени, тем шире диапазон возможных цен. Башелье вывел, что ожидаемая цена описывается нормальным распределением с центром в текущей цене, расширяющимся со временем.

Он обнаружил, что фактически заново открыл уравнение теплопроводности Фурье (1822) — только вместо распространения тепла у него распространялись вероятности.

Броуновское движение: та же математика в физике

В 1827 году ботаник Роберт Браун заметил в микроскоп, что частицы пыльцы в воде хаотично движутся. Проверив неживые частицы (пыль метеоритов, вулканические породы), он убедился, что дело не в «живости» — так было открыто броуновское движение, причина которого 80 лет оставалась загадкой.
В 1905 году Эйнштейн объяснил его столкновениями с невидимыми молекулами: если с одной стороны частицу толкает больше молекул, она смещается. Поскольку столкновения непредсказуемы, движение в каждый момент равновероятно во всех направлениях.
Ожидаемое положение частицы описывается расширяющимся со временем нормальным распределением — этим объясняется диффузия.
Так Эйнштейн доказал реальность атомов и молекул, не подозревая, что Башелье описал случайные блуждания на пять лет раньше — для цен на бирже.

Формула Башелье и её забвение

Башелье рассчитал справедливую цену опциона так:

Умножил прибыль и убыток на вероятность каждого исхода и получил ожидаемую доходность опциона.
Справедливая цена — та, при которой ожидаемая прибыль покупателя и продавца одинакова.

Проблема: физикам работа была неинтересна, а трейдеры оказались не готовы — не хватало практического способа заработать на этой модели.

Эдвард Торп: от блэкджека к бирже

Обыграть казино

В конце 1950-х молодой физик Эдвард Торп, писавший диссертацию в Лос-Анджелесе, поехал в Лас-Вегас. Поскольку крупье тогда играли одной колодой, он запоминал вышедшие карты и оценивал изменение своих шансов, повышая или понижая ставку. Так был изобретён подсчёт карт. Казино ответили добавлением колод.

Перенос стратегии на биржу

На выигранные деньги (и деньги от книги о казино) Торп основал фонд, который 20 лет подряд приносил около 20% годовых — лучший результат того времени.

Динамическое хеджирование. Пусть Боб продал Элис опцион на покупку акции. При росте цены акции Боб теряет по доллару на каждый доллар роста. Но если Боб одновременно владеет самой акцией, её удорожание компенсирует убыток. Если цена падает, Боб продаёт акцию, чтобы не терять на ней.

Портфель считается захеджированным (нулевого риска), если стоимость опциона в любой момент скомпенсирована определённым количеством акций.
Это количество задаётся коэффициентом дельта — отношением изменения стоимости опциона к изменению стоимости акции, и его нужно постоянно пересматривать.
По сути, продавец «создаёт» опцион из ничего, пока ведёт динамическую торговлю базовым активом.

Улучшенная модель Торпа

Башелье не учитывал, что акции в среднем растут в благоприятных условиях и падают в неблагоприятных. Торп предложил более точную формулу оценки опционов (примерно в 1967 году), но держал её в секрете — ею пользовался только он сам и его инвесторы.

Его стратегия: если рыночная цена опциона ниже модельной — покупать, если выше — продавать (играть против него). Это работало около шести лет.

1973: уравнение Блэка–Шоулза–Мертона

Фишер Блэк, Майрон Шоулз и Роберт Мертон (использовавший стохастическое исчисление) опубликовали строго обоснованную модель. Торп признавал, что их вариант оказался лучше его собственного.

Логика вывода

Если построить безрисковый портфель из опционов и акций (как при динамическом хеджировании Торпа), то на эффективном рынке его доходность не может превышать доходность безрисковых бумаг — казначейских облигаций США.
Иными словами, без дополнительного риска не бывает дополнительного дохода.
Изменение цены акции моделируется как сумма случайного колебания и общего тренда рынка (доработанная модель Башелье).

Соединив эти идеи, авторы получили самое известное уравнение финансовых рынков — дифференциальное уравнение в частных производных, дающее цену любого дериватива как функцию нескольких входных параметров.

Почему оно всё изменило

В том же году открылась Чикагская биржа опционов.
Впервые у трейдеров появилась формула, куда можно подставить конкретные значения и получить число, применимое прямо в торгах.
Это был первый случай в истории социальных наук, когда рынок так быстро освоил академическую разработку: за считанные годы модель стала стандартом на Уолл-стрит.

Последствия: рынок деривативов

Масштаб

Дериватив — производный финансовый инструмент, чья стоимость зависит от стоимости других активов. Опцион — дериватив.
Объём мирового рынка деривативов оценивается в сотни триллионов долларов — многократно больше стоимости базовых активов, на которых они основаны.
Причина: опционы позволяют «использовать» один и тот же базовый актив по 5, 10, 20 раз, создавая множество вариаций с разными соотношениями риска и доходности.
Рынок удваивается примерно каждые пять лет — «финансовый эквивалент закона Мура». Похожий рост показали рынки кредитных дефолтных свопов, внебиржевых деривативов и обеспеченных долговых обязательств — каждый на триллионы долларов и каждый так или иначе опирается на принципы Блэка–Шоулза.

Хеджирование рисков

Опционами пользуются не только хедж-фонды, но и корпорации, правительства и частные инвесторы. Пример: авиакомпания, опасающаяся роста цен на нефть, может купить опцион, привязанный к стоимости нефти — он окупится при подорожании топлива и компенсирует возросшие расходы.

Финансовый рычаг: случай GameStop

Пользователи форума Reddit решили «наказать» хедж-фонды, игравшие на понижение акций компании.
Одних акций было недостаточно: на ту же сумму опционы дают эффект, эквивалентный покупке гораздо большего числа акций (например, 1 доллар в опционе может влиять как 20 долларов в акциях).
Комбинация скупки акций и опционов взвинтила цену примерно на 700%, а хедж-фонды понесли огромные потери.

Влияние на экономику

В нормальных условиях рынки деривативов служат источником ликвидности и, следовательно, стабильности.
В кризисных условиях все инструменты рискуют одновременно двинуться в одну сторону (обычно вниз), и их синхронное обрушение обваливает рынок в целом, усугубляя проблемы.

Признание

В 1997 году Мертон и Шоулз получили Нобелевскую премию по экономике. Заслуги Фишера Блэка были признаны, но он скончался двумя годами ранее.

Джим Саймонс и Renaissance Technologies

Когда формула стала общедоступной, фондам понадобились новые источники неэффективности рынка.

Учёный до финансов

Саймонс был выдающимся математиком: его работы по римановой геометрии применяются в теории узлов, квантовой теории поля и квантовых вычислениях, а теория Черна–Саймонса легла в основу теории струн. В 1976 году он получил Премию Освальда Веблена по геометрии.

Идея: искать закономерности в данных

В 1978 году он основал Renaissance Technologies, чтобы искать паттерны на бирже методами машинного обучения.
Данные приходилось собирать вручную: сотрудники ходили в Федеральный резерв и переписывали исторические процентные ставки — в цифровом виде ничего не хранилось.
Опыт Саймонса из Института оборонного анализа, где он во время Холодной войны взламывал советские шифры, искал закономерности в массивах данных, был перенесён на финансовые рынки.

Кадры

Саймонс намеренно нанимал не финансистов, а учёных: физиков с докторской степенью, защитившихся около пяти лет назад и опубликовавших несколько приличных статей, астрономов, математиков, статистиков — тех, кто доказал способность заниматься наукой успешно.

Мотивация учёных: заработок значительно выше университетской зарплаты, а сами задачи не менее увлекательны, чем научные. Среди сотрудников был Леонард Баум, первооткрыватель скрытых марковских моделей: подобно тому как Эйнштейн через видимое движение пыльцы доказал существование невидимых атомов, скрытые марковские модели выявляют невидимые факторы по их влиянию на наблюдаемые процессы.

Спор о гипотезе эффективного рынка

Успех фонда Medallion, ставшего самым прибыльным известным инвестиционным фондом, заставил усомниться в гипотезе эффективного рынка. Брэдфорд Корнелл (Калифорнийский университет) в статье о Medallion заключает, что гипотеза, возможно, в корне неверна.

Ещё в 1988 году было опубликовано исследование на данных американской биржи, показавшее, что у цен есть прогнозируемые компоненты — то есть рынок можно обыграть при наличии подходящей модели, подготовки, ресурсов и вычислительных мощностей.

Итог

Люди, открывавшие закономерности и случайности финансовых рынков, чаще всего оказывались физиками и математиками. Их влияние вышло далеко за пределы личного обогащения: модели рыночной динамики дали новый взгляд на риск, заложили основу новых рынков и позволили корректно оценивать деривативы, делая рынок эффективнее.

Ирония в том, что если однажды все закономерности рынка будут найдены, они тем самым будут устранены — и мы получим по-настоящему эффективный рынок, в котором останутся только случайные колебания.