Задача трёх тел: как простой вопрос о планетах разрушил детерминизм

Суть проблемы

Задача трёх тел формулируется обманчиво просто: имеются три массивных тела в космосе, каждое из которых притягивает остальные согласно закону всемирного тяготения. Зная положение и импульс каждого тела в настоящий момент, требуется предсказать их положение и импульс в любой будущий момент времени.

Несмотря на то, что все необходимые инструменты — законы Ньютона и закон тяготения — были известны, этот вопрос:

• подорвал более 100 лет господствующей физической картины мира;
• расколол научный ландшафт;
• показал принципиальные границы того, что человек в состоянии знать.

Конкурс короля Оскара II (1889)

Король Швеции Оскар II к своему 60-летию устроил математический конкурс с призом в 2 500 крон и академической славой. Главный вопрос звучал так: стабильна ли Солнечная система? Будут ли планеты вечно обращаться вокруг Солнца, или однажды столкнутся, или разлетятся прочь?

Вопрос имел не только «выживательный», но и глубокий математический смысл: более 200 лет выдающиеся математики пытались ответить на него — и терпели неудачу.

Ньютон и первая неудача (1687)

Почему Ньютон взялся за задачу

К 1687 году Ньютон сформулировал три закона движения и закон всемирного тяготения — по сути, «чертёж» мироздания, объясняющий и падение яблока, и орбиты планет. Логично было применить эти инструменты к вопросу устойчивости Солнечной системы.

Для Ньютона, глубоко верующего христианина, Солнечная система была возрастом всего около 6 000 лет — такой короткий срок вовсе не гарантировал спокойного движения планет и в дальнейшем.

Стратегия и провал

1. Начать с двух тел — задача решилась прекрасно, система оказалась устойчивой.
2. Добавить третье тело — и всё рухнуло.

Ньютон не только не смог решить уравнения — он не смог даже вывести сами уравнения движения. В письме Эдмунду Галлею он признавался: «Ни одна задача не вызывала у меня такой головной боли, как задача Земли, Луны и Солнца».

Детерминизм и его хрупкость

Картина мира до кризиса

Законы Ньютона утвердили идею детерминизма: настоящее состояние однозначно определяет будущее. Физика превратилась в подобие дорожной карты:

• физические законы задают форму дороги;
• начальные условия говорят, где мы находимся;
• подставив числа и решив уравнения, можно точно указать положение в любой момент будущего.

В основе этой уверенности лежали аналитические решения — точные математические выражения, дающие точные численные результаты.

Оговорка, которую считали несущественной

Точность измерений никогда не бывает стопроцентной (а сегодня мы знаем ещё и о принципе неопределённости Гейзенберга). Но господствовало убеждение: малые ошибки в измерениях дают малые ошибки в предсказаниях. Пример, подкреплявший веру: крошечная погрешность в положении кометы Галлея в 1910 году привела бы лишь к крошечной ошибке в предсказании её возвращения в 1986-м.

Считалось, что науке остаётся лишь три вещи: измерять точнее, лучше знать законы и наращивать вычислительную мощность — и тогда будущее откроется целиком. Неспособность рассчитать движение всего трёх тел стала первым серьёзным ударом по этой картине.

Анри Пуанкаре и новый способ делать физику

Упрощённая постановка

Пуанкаре взял ещё более простой вариант: две большие массы, закреплённые на месте, и третье тело пренебрежимо малой массы, движущееся под действием их притяжения. Требовалось описать лишь движение малого тела.

Уравнения он, как и все до него, решить не смог — но, в отличие от предшественников, не остановился, а изобрёл новый подход. Если Ньютон рассматривал отдельные сценарии («дорогу»), Пуанкаре решил изучать всю карту целиком — общее поведение и структуру системы.

Неподвижные точки

Аналогия: шарик катится по холмистой поверхности. Есть точки, где он может естественным образом остановиться.

• Устойчивая неподвижная точка (дно долины): при лёгком толчке шарик возвращается обратно. Такие точки работают как аттракторы — притягивают и удерживают объекты.
• Неустойчивая неподвижная точка (вершина холма): малейший толчок — и шарик стремительно укатывается прочь. Такие точки отталкивают.

Пуанкаре обнаружил, что взаимодействие гравитационных сил создаёт такие точки в пространстве — места идеального баланса сил.

Седловые точки — зародыши хаоса

Затем он нашёл третий, парадоксальный тип: точки, одновременно устойчивые и неустойчивые. В трёхмерном представлении это седловые точки: вдоль одного направления шарик притягивается к точке, а вдоль другого — малейшее отклонение уводит его в одну или в другую сторону.

Ключевое следствие: мельчайшая разница в начальном положении приводит к совершенно разным, неузнаваемо расходящимся траекториям. Это прямая противоположность ньютоновской картине, где малая погрешность даёт малое отклонение. Так возникает чрезвычайная чувствительность к начальным условиям.

Детерминированность без предсказуемости

Важно: такое поведение не случайно. Оно на 100 % детерминировано — просто непредсказуемо.

Метафора: Пуанкаре обнаружил на «дорожной карте» перекрёстки. Машина, стартовавшая из одной и той же полосы, всегда приедет в один и тот же пункт. Но машина из соседней полосы окажется совершенно в другом месте.

Почему нельзя просто измерить точнее:

• «полосы» — это бесконечно тонкие траектории в непрерывном пространстве, и их бесконечно много;
• мешает принцип неопределённости Гейзенберга;
• на тело влияют бесчисленные мельчайшие возмущения: гравитационный рывок далёкой луны, давление солнечного ветра и т. д.;
• измерить каждое движение и каждую силу во Вселенной физически невозможно.

Мы всегда знаем лишь приблизительно, на какой траектории находимся, а для долгосрочного прогноза этого недостаточно.

Судьба открытия и итог конкурса

Пуанкаре выиграл конкурс короля — но не решив задачу трёх тел, а доказав, что она аналитически неразрешима.

Любопытный исторический факт: революционная идея не получила немедленного развития, поскольку Пуанкаре очень плохо рисовал (он даже получил ноль за раздел механического черчения на вступительном экзамене в институт), и современники не поняли его геометрических построений. Теория хаоса «выстрелила» только в 1960-х, когда её переоткрыли заново.

Что же тогда означают «решения задачи трёх тел»?

Когда говорят о решениях, обычно имеют в виду одно из двух.

1. Частные решения

Общего аналитического решения, работающего для любого сценария, не существует. Но найдены решения для специальных случаев:

• когда тела образуют равносторонний треугольник;
• устойчивая траектория в форме «восьмёрки»;
• различные периодические орбиты, повторяющиеся бесконечно.

2. Численное интегрирование (приближение)

Метод разбивает задачу на малые шаги по времени:

1. На каждом шаге вычисляются гравитационные силы между каждой парой тел.
2. По силам и текущим скоростям алгоритм обновляет скорости и положения тел для следующего шага.
3. Процесс повторяется, шаг за шагом выстраивая траектории.

При современных вычислительных мощностях этот метод чрезвычайно эффективен.

Наследие: хаос повсюду

Геометрические методы Пуанкаре не только позволили подступиться к задачам, недоступным ньютоновскому подходу, но и породили теорию хаоса и нелинейную динамику. Хаотические системы обнаружены в самых разных областях:

• погодные системы и океанические течения;
• ритм человеческого сердца;
• фондовый рынок.

Главный урок: даже системы, управляемые абсолютно точными законами, могут вести себя принципиально непредсказуемо. И вдохновляющая сторона истории — Пуанкаре справился там, где не справились другие, просто взглянув на задачу под другим углом.

Личное отступление и спонсор выпуска

Ведущая рассказывает, что начинала с биологического образования, но перешла в физику: в биологии она «узнавала факты», а физика давала совершенно новый способ мышления — как рассуждать о мире, мыслить логически и эффективно решать задачи.

Спонсор выпуска — Brilliant, интерактивная платформа обучения через практику с тысячами уроков по математике, анализу данных, программированию и ИИ. Отмечаются два достоинства: подход «от первых принципов» (формирование интуиции вместо зубрёжки) и упор на решение задач, которое, по данным исследований, в шесть раз эффективнее просмотра видеолекций. Рекомендуется курс «Научное мышление»; предлагается 30 дней бесплатного доступа по ссылке brilliant.org/atom и 20 % скидки на годовую премиум-подписку.